4. Упростите выражение: 1) a+12 a+4 19 4a+16 - 4a-16 + a2-16

1) Упростим выражение $$\frac{a+12}{4a+16} - \frac{a+4}{4a-16} + \frac{19}{a^2-16}$$.

Разложим знаменатели на множители.

$$\frac{a+12}{4a+16} - \frac{a+4}{4a-16} + \frac{19}{a^2-16} = \frac{a+12}{4(a+4)} - \frac{a+4}{4(a-4)} + \frac{19}{(a-4)(a+4)}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $$4(a-4)(a+4)$$.

$$\frac{a+12}{4(a+4)} - \frac{a+4}{4(a-4)} + \frac{19}{(a-4)(a+4)} = \frac{(a+12) \cdot (a-4)}{4(a-4)(a+4)} - \frac{(a+4) \cdot (a+4)}{4(a-4)(a+4)} + \frac{19 \cdot 4}{4(a-4)(a+4)}$$

$$\frac{(a+12)(a-4) - (a+4)(a+4) + 19 \cdot 4}{4(a-4)(a+4)}$$

Раскроем скобки в числителе.

$$\frac{(a^2+12a-4a-48) - (a^2+4a+4a+16) + 76}{4(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+8a-48 - a^2-8a-16 + 76}{4(a-4)(a+4)}$$

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$$\frac{a^2+8a-48 - a^2-8a-16 + 76}{4(a-4)(a+4)} = \frac{12}{4(a-4)(a+4)}$$

Сократим числитель и знаменатель на 4.

$$\frac{12}{4(a-4)(a+4)} = \frac{3}{(a-4)(a+4)}$$

Ответ: $$\frac{3}{(a-4)(a+4)}$$