Упростите выражение: \(\frac{a+3}{a^2+3a+9}-\frac{1}{a-3}+\frac{a^3+3a-9}{a^3-27}\).

Разложим разность кубов: \(a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9)\). Общий знаменатель — \((a-3)(a^2+3a+9)\).

\[\frac{(a+3)(a-3)-(a^2+3a+9)+(a^3+3a-9)}{(a-3)(a^2+3a+9)}.\]

В числителе первые два слагаемых дают \(a^2-9-a^2-3a-9=-3a-18\). Тогда числитель равен \(a^3-9\).

Проверка сложения в общем числителе напрямую: \((a+3)(a-3)-(a^2+3a+9)+(a^3+3a-9)=(a^2-9)-(a^2+3a+9)+a^3+3a-9=a^3-27\).

Сократим на \(a-3\), поскольку \(a^3-27=(a-3)(a^2+3a+9)\). При этом исходное выражение требует \(a\ne3\); квадратный множитель действительных корней не имеет.

Ответ: \(1\), при \(a\ne3\).