Упростите выражение \(\left(\frac{a+3}{a^2-1} : \frac{1}{a^2+a}\right) \cdot \frac{3a+3}{a^2-a}\)

Решение:

Сначала преобразуем выражение в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.

\(\frac{a+3}{a^2-1} : \frac{1}{a^2+a} = \frac{a+3}{a^2-1} \cdot \frac{a^2+a}{1}\)

Разложим знаменатели и числители на множители:

• \(a^2-1 = (a-1)(a+1)\)
• \(a^2+a = a(a+1)\)

Подставим разложенные выражения:

\[ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a(a+1)}{1} = \frac{(a+3)a(a+1)}{(a-1)(a+1)} \]

Сократим \((a+1)\):

\[ \frac{(a+3)a}{a-1} \]

Теперь умножим полученное выражение на оставшуюся часть:

\[ \frac{(a+3)a}{a-1} \cdot \frac{3a+3}{a^2-a} \]

Разложим числитель и знаменатель второй дроби:

• \(3a+3 = 3(a+1)\)
• \(a^2-a = a(a-1)\)

Подставим разложенные выражения:

\[ \frac{(a+3)a}{a-1} \cdot \frac{3(a+1)}{a(a-1)} = \frac{(a+3)a … 3(a+1)}{(a-1)a(a-1)} \]

Сократим \(a\) и \((a-1)\):

\[ \frac{(a+3) … 3(a+1)}{(a-1)(a-1)} \]

Умножим оставшиеся множители:

\[ \frac{3(a+3)(a+1)}{(a-1)^2} = \frac{3(a^2 + a + 3a + 3)}{(a-1)^2} = \frac{3(a^2 + 4a + 3)}{(a-1)^2} \]

Ответ: \(\frac{3(a^2+4a+3)}{(a-1)^2}\).