12. Упростите выражение tg²x-(cos²x-1)

\[\tg^2 x - (\cos^2 x - 1) = \tg^2 x - \cos^2 x + 1\] Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\) \[\tg^2 x - \cos^2 x + 1 = \tg^2 x + (1 - \cos^2 x) = \tg^2 x + \sin^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sin^2 x = \frac{\sin^2 x + \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (1 + \cos^2 x)}{\cos^2 x}\] Однако можно упростить еще: \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \[\tg^2 x + \sin^2 x = \tg^2 x + 1 - \cos^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sin^2 x = \frac{\sin^2 x + \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x(1 + \cos^2 x)}{\cos^2 x}\] Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2x + \cos^2x = 1\) следует \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Тогда \[ \tg^2 x - (\cos^2 x - 1) = \tg^2 x + 1 - \cos^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sin^2 x = \frac{\sin^2 x + \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (1 + \cos^2 x)}{\cos^2 x} \]

Ответ: \(\sin^2x + \tg^2x\)

Проверка за 10 секунд: Применяйте тригонометрические тождества для упрощения выражений.

Редфлаг: Не забывайте о возможности использования основного тригонометрического тождества для упрощения выражений.