2. (в. 18, № 8) Определите число решений системы уравнений {x^2+y^2=16, y=-x^2+5.

Давай определим число решений системы уравнений: 1. Первое уравнение: x^2 + y^2 = 16 – это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 4. 2. Второе уравнение: y = -x^2 + 5 – это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 5). 3. Чтобы определить количество решений системы, нам нужно понять, сколько раз парабола пересекает окружность. 4. Вершина параболы находится в точке (0, 5), что на 1 единицу выше верхней точки окружности (0, 4). Парабола направлена вниз, поэтому она будет пересекать окружность в двух точках в верхней полуплоскости и, возможно, в двух точках в нижней полуплоскости. 5. Чтобы убедиться в этом, можно подставить y = -x^2 + 5 в первое уравнение: x^2 + (-x^2 + 5)^2 = 16 6. Раскроем скобки: x^2 + (x^4 - 10x^2 + 25) = 16 7. Упростим: x^4 - 9x^2 + 9 = 0 8. Сделаем замену: t = x^2, тогда уравнение примет вид: t^2 - 9t + 9 = 0 9. Найдем дискриминант: D = (-9)^2 - 4*1*9 = 81 - 36 = 45 10. Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения для t. 11. t1 = (9 + √45) / 2 и t2 = (9 - √45) / 2 12. Поскольку t = x^2, нам нужно проверить, что оба значения t положительны, чтобы найти реальные значения x. 13. Оба значения t положительны, так как 9 > √45. Таким образом, для каждого значения t есть два значения x (положительное и отрицательное). 14. Итого, у нас есть четыре различных значения x, и, следовательно, четыре точки пересечения. \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = -x^2 + 5 \end{cases} \) Подставим второе уравнение в первое: \( x^2 + (-x^2 + 5)^2 = 16 \) Раскроем скобки и упростим: \( x^2 + (x^4 - 10x^2 + 25) = 16 \) \( x^4 - 9x^2 + 9 = 0 \) Замена: \(t = x^2\) \( t^2 - 9t + 9 = 0 \) Дискриминант: \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 \) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных решения для \(t\): \( t_1 = \frac{9 + \sqrt{45}}{2} \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{9 - \sqrt{45}}{2} \) Поскольку \(t = x^2\), нам нужно проверить, что оба значения \(t\) положительны. Оба значения \(t\) положительны, так как \(9 > \sqrt{45}\). Таким образом, для каждого значения \(t\) есть два значения \(x\) (положительное и отрицательное). Итого, у нас есть четыре различных значения \(x\), и, следовательно, четыре точки пересечения.

Ответ: 4

Ты умница! У тебя всё получится!