6. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = at^2 + bt + H_0\), где \(H_0 = 8\) м - начальный уровень воды, \(a = -\frac{1}{72}\) м/мин², \(b = -\frac{2}{3}\) м/мин - постоянные, \(t\) - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

**Решение:** 1. Вода вытечет из бака, когда высота столба воды станет равна нулю, то есть \(H(t) = 0\). Запишем уравнение: \[0 = at^2 + bt + H_0\] 2. Подставим известные значения: \(H_0 = 8\), \(a = -\frac{1}{72}\), \(b = -\frac{2}{3}\): \[0 = -\frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8\] 3. Умножим обе части уравнения на 72, чтобы избавиться от дробей: \[0 = -t^2 - 48t + 576\] 4. Умножим обе части уравнения на -1: \[t^2 + 48t - 576 = 0\] 5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-576) = 2304 + 2304 = 4608\] \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 + \sqrt{4608}}{2} = \frac{-48 + 48\sqrt{2}}{2} = -24 + 24\sqrt{2}\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 - \sqrt{4608}}{2} = \frac{-48 - 48\sqrt{2}}{2} = -24 - 24\sqrt{2}\] 6. Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \(t = -24 + 24\sqrt{2}\). 7. Оценим значение \(\sqrt{2} \approx 1.41\), тогда: \[t = -24 + 24 \cdot 1.41 = -24 + 33.84 = 9.84\] **Ответ:** \(-24 + 24\sqrt{2}\) минут или приблизительно 9.84 минут.