В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at² + bt + H₀, где H₀ = 2 м — начальный уровень воды, a = 1/50 м/мин² и b = -2/5 м/мин — постоянные, t — время (в минутах), прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Решение:

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока её уровень не станет равным нулю. Таким образом, нам нужно найти время \( t \), при котором \( H(t) = 0 \).

Запишем уравнение: \( H(t) = at^2 + bt + H_0 \)

Подставим известные значения: \( a = \frac{1}{50} \), \( b = -\frac{2}{5} \), \( H_0 = 2 \).

Уравнение примет вид: \( \frac{1}{50}t^2 - \frac{2}{5}t + 2 = 0 \)

Умножим всё уравнение на 50, чтобы избавиться от дробей:

\( 50 \cdot (\frac{1}{50}t^2 - \frac{2}{5}t + 2) = 50 \cdot 0 \)

\( t^2 - 20t + 100 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, найдя дискриминант или заметив, что это полный квадрат.

Способ 1: Дискриминант

\( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-20 \), \( c=100 \).

\( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 400 - 400 = 0 \)

Так как \( D=0 \), уравнение имеет один корень:

\( t = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-20)}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \)

Способ 2: Полный квадрат

Заметим, что уравнение \( t^2 - 20t + 100 = 0 \) является развёрнутым видом формулы квадрата разности \( (t-10)^2 \).

\( (t - 10)^2 = 0 \)

Отсюда следует, что \( t - 10 = 0 \), а значит \( t = 10 \).

Время, в течение которого вода будет вытекать из бака, равно 10 минутам.

Ответ: 10 минут.