5. Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \(q = 50 - 5p\). Выручка предприятия за месяц \(r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p) = q \cdot p\). Определите наибольшую цену \(p\), при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее 105 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

**Решение:** 1. Запишем формулу для выручки \(r(p)\): \[r(p) = q \cdot p = (50 - 5p) \cdot p = 50p - 5p^2\] 2. По условию, выручка должна быть не менее 105 тыс. руб., то есть \(r(p) \geq 105\): \[50p - 5p^2 \geq 105\] 3. Перенесём все члены в одну сторону: \[5p^2 - 50p + 105 \leq 0\] 4. Разделим на 5: \[p^2 - 10p + 21 \leq 0\] 5. Решим квадратное уравнение \(p^2 - 10p + 21 = 0\): Найдем корни уравнения используя теорему Виета: \(p_1 + p_2 = 10\) \(p_1 * p_2 = 21\) Отсюда \(p_1 = 3\) и \(p_2 = 7\) 6. Определим интервал, где выполняется неравенство \(p^2 - 10p + 21 \leq 0\). Так как коэффициент при \(p^2\) положительный, парабола направлена вверх. Неравенство выполняется между корнями: \[3 \leq p \leq 7\] 7. Нам нужна наибольшая цена \(p\), при которой выручка не менее 105 тыс. руб. Это верхняя граница интервала. **Ответ:** 7 тыс. руб.