В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны, а диагональ BD образует со сторонами ВА и ВС равные углы. Докажите, что AD = DC.

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Так как диагонали перпендикулярны, то ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.

Диагональ BD образует равные углы со сторонами BA и BC, следовательно, ∠ABO = ∠CBO.

Рассмотрим треугольники AOB и COB:

• ∠AOB = ∠COB = 90°


• BO - общая сторона


• ∠ABO = ∠CBO

Следовательно, треугольники AOB и COB равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AO = CO и AB = CB.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и COD:

• AO = CO


• ∠AOD = ∠COD = 90°


• DO - общая сторона

Следовательно, треугольники AOD и COD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AD = CD.

Ответ: AD = DC, что и требовалось доказать.