3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка К. ВК = = KC = AК. угол АКВ на 30° больше угла С. Найдите угол АВК.

Пусть ∠С = x. Тогда ∠АКВ = x + 30°.

Треугольник AKB равнобедренный (AK = BK), значит, ∠KAB = ∠ABK = y.

Треугольник BKC равнобедренный (BK = KC), значит, ∠KBC = ∠C = x.

В треугольнике AKB: ∠KAB + ∠ABK + ∠AKB = 180°, то есть y + y + x + 30° = 180°.

В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то есть y + x + x + y = 180°.

Получаем систему уравнений:

Выразим 2y из второго уравнения: 2y = 180° - 2x.

Подставим в первое уравнение: 180° - 2x + x + 30° = 180°.

Тогда -x + 210° = 180°, значит x = 30°.

2y = 180° - 2 * 30° = 120°, значит y = 60°.

∠ABK = y = 60°.

Ответ: 60°

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что найденный угол соответствует условиям задачи и свойствам равнобедренных треугольников.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Знание свойств равнобедренных треугольников и умение составлять и решать системы уравнений помогает быстро решать такие задачи.