4. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, биссек- триса ВМ в 2 раза больше расстояния от точки М до пря- мой АВ. Катет ВС = 17 см. Найдите гипотенузу АВ.

Пусть MD - расстояние от точки M до AB, тогда MD = h.

По условию задачи BM = 2h.

В прямоугольном треугольнике BMD, sin(∠MBА) = MD / BM = h / 2h = 1/2.

Отсюда ∠MBA = 30°.

Так как BM - биссектриса угла B, ∠ABC = 2 * ∠MBA = 2 * 30° = 60°.

Тогда ∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AB.

AB = 2 * BC = 2 * 17 = 34 см.

Ответ: 34 см.

Проверка за 10 секунд: Проверьте, что гипотенуза в два раза больше катета, лежащего против угла в 30°.

Доп. профит: Читерский прием: В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Это знание значительно ускоряет решение.