15. В геометрической прогрессии b₄ = 21 и b₆ = 189. Найди b₅ и q. Запиши формулу n-го члена прогрессии.

Пошаговое решение:

В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через предыдущий и знаменатель q: bₙ = b₁ * q^(n-1). Также верно, что \( b_5 = b_4 * q \) и \( b_6 = b_5 * q \). Отсюда можно вывести, что \( b_6 = b_4 * q^2 \).

Имеем:

\[ b_4 = 21 \] \[ b_6 = 189 \]

Тогда:

\[ 189 = 21 * q^2 \] \[ q^2 = \frac{189}{21} \] \[ q^2 = 9 \]

Значит, q = ±3.

Теперь найдем b₅ для обоих значений q:

Если q = 3:

\[ b_5 = b_4 * q = 21 * 3 = 63 \]

Если q = -3:

\[ b_5 = b_4 * q = 21 * (-3) = -63 \]

Формула n-го члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ * q^(n-1).

Чтобы найти b₁, используем b₄ = b₁ * q³:

Если q = 3:

\[ 21 = b_1 * 3^3 \] \[ 21 = b_1 * 27 \] \[ b_1 = \frac{21}{27} = \frac{7}{9} \]

Тогда формула n-го члена: bₙ = (7/9) * 3^(n-1).

Если q = -3:

\[ 21 = b_1 * (-3)^3 \] \[ 21 = b_1 * (-27) \] \[ b_1 = -\frac{21}{27} = -\frac{7}{9} \]

Тогда формула n-го члена: bₙ = (-7/9) * (-3)^(n-1).

Ответ: q = 3, b₅ = 63 или q = -3, b₅ = -63. Формула n-го члена: bₙ = (7/9) * 3^(n-1) или bₙ = (-7/9) * (-3)^(n-1)