В геометрической прогрессии с положительными членами (b_n) известно, что b_1 + b_2 = 12, b_3 + b_4 = 300. Найдите номер члена этой прогрессии, который равен 1250.

Привет! Давай вместе разберем эту задачу с геометрической прогрессией.

Что нам дано:

• Геометрическая прогрессия с положительными членами (b_n > 0).
• b₁ + b₂ = 12
• b₃ + b₄ = 300
• Нужно найти номер n, для которого b_n = 1250.

Шаг 1: Запишем уравнения через первый член (b₁) и знаменатель (q).

Мы знаем, что b_k = b₁ * q^k-1. Применим это к нашим уравнениям:

1) b₁ + b₁ * q = 12

b₁ * (1 + q) = 12

2) b₁ * q² + b₁ * q³ = 300

b₁ * q² * (1 + q) = 300

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии (q).

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

(b₁ * q² * (1 + q)) / (b₁ * (1 + q)) = 300 / 12

q² = 25

Так как все члены прогрессии положительные, то и знаменатель q должен быть положительным. Значит:

q = 5

Шаг 3: Найдем первый член прогрессии (b₁).

Подставим найденное значение q в первое уравнение:

b₁ * (1 + 5) = 12

b₁ * 6 = 12

b₁ = 12 / 6

b₁ = 2

Шаг 4: Найдем номер члена, который равен 1250.

Теперь у нас есть полная информация о прогрессии: b₁ = 2 и q = 5.

Воспользуемся формулой n-го члена: b_n = b₁ * q^n-1.

Нам нужно найти n, когда b_n = 1250.

1250 = 2 * 5^n-1

Разделим обе части на 2:

625 = 5^n-1

Мы знаем, что 625 = 5⁴.

Значит, 5⁴ = 5^n-1.

Следовательно, степени равны:

4 = n - 1

n = 4 + 1

n = 5

Ответ: Номер члена прогрессии, который равен 1250, это 5.