11.2(10). В графе 4 вершины, кладая из рых имеет индекс 3. Других вершии в этом нет. Сколько у него ребер

Пошаговое решение:

Сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному числу рёбер.

Одна вершина имеет степень 3.

Всего 4 вершины, значит, у остальных трёх вершин степень может быть только меньше или равна 3.

Чтобы граф существовал, сумма степеней остальных вершин должна быть такой, чтобы общая сумма была чётной.

Если все остальные вершины имеют степень 0: 3 + 0 + 0 + 0 = 3 (нечётное число, невозможно).

Если все остальные вершины имеют степень 1: 3 + 1 + 1 + 1 = 6 (чётное число, возможно).

Если все остальные вершины имеют степень 2: 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (нечётное число, невозможно).

Если все остальные вершины имеют степень 3: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 (чётное число, возможно).

Минимальный случай — когда остальные вершины имеют степень 1. Тогда сумма степеней равна 6.

Число рёбер = сумма степеней / 2 = 6 / 2 = 3.

Максимальный случай — когда остальные вершины имеют степень 3. Тогда сумма степеней равна 12.

Число рёбер = сумма степеней / 2 = 12 / 2 = 6.

Однако, поскольку каждая вершина связана с тремя другими, то в графе из четырёх вершин не может быть меньше 3 рёбер. Если первая вершина соединена с тремя другими, то у нас уже 3 ребра. Других ребер в таком графе быть не может.

Ответ: 3 ребра