В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

Решение:

Уравнение вида \( ax = b \) имеет:

1. Единственный корень, если \( a \neq 0 \). В этом случае \( x = \frac{b}{a} \).

Пример: \( 3x = 12 \). Здесь \( a=3 \neq 0 \), \( b=12 \). Корень: \( x = \frac{12}{3} = 4 \).

2. Бесконечно много корней, если \( a = 0 \) и \( b = 0 \). В этом случае уравнение принимает вид \( 0x = 0 \), что верно при любом значении \( x \).

Пример: \( 0x = 0 \). Это уравнение верно для любого \( x \).

3. Не имеет корней, если \( a = 0 \) и \( b \neq 0 \). В этом случае уравнение принимает вид \( 0x = b \), что невозможно, так как \( 0 \) не может быть равно \( b \) (так как \( b \neq 0 \)).

Пример: \( 0x = 5 \). Здесь \( a=0 \), \( b=5 \neq 0 \). Уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение \( ax = b \) имеет единственный корень, если \( a \neq 0 \); бесконечно много корней, если \( a = 0 \) и \( b = 0 \); не имеет корней, если \( a = 0 \) и \( b \neq 0 \).