4. В круг вписан равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она попадёт в данный треугольник. Ответ округлите до сотых.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см. Катеты равны:

$$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$

Площадь треугольника равна:

$$S_{треуг} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 = 25 \text{ см}^2$$

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$$R = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Площадь круга равна:

$$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2$$

Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площади треугольника к площади круга:

$$P = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{25}{25\pi} = \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3,14} \approx 0,318$$

Округлим до сотых: 0,32

Ответ: 0,32