5 В кубе А... D₁ найдите углы меж- ду плоскостями АВС и ACD1.

Дан куб $$A...D_1$$. Нужно найти угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ACD_1$$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения этих плоскостей в одной точке.

Плоскости $$ABC$$ и $$ACD_1$$ пересекаются по прямой $$AC$$.

Прямая $$BD$$ перпендикулярна $$AC$$, т.к. $$ABCD$$ - квадрат.

Прямая $$D_1O$$ перпендикулярна $$AC$$, где $$O$$ - середина $$AC$$.

Следовательно, угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ACD_1$$ - это угол между прямыми $$BD$$ и $$D_1O$$.

Пусть $$a$$ - ребро куба. Тогда $$BD = a\sqrt{2}$$. $$D_1D = a$$.

$$OD = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Рассмотрим треугольник $$D_1DO$$. Он прямоугольный. $$tan \angle D_1OD = \frac{D_1D}{OD} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$.

Следовательно, угол $$D_1OD = arctg(\sqrt{2})$$.

Следовательно, угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ACD_1$$ равен $$arctg(\sqrt{2})$$.

Ответ: $$arctg(\sqrt{2})$$