15) В многоэтажном доме 385 квартир. При этом число этажей и число квартир на каждом этаже одинаковы во всех подъездах этого дома. Известно, что подъездов в доме более одного. Определите, какое наибольшее число квартир может быть в одном подъезде этого дома.

Решение: Пусть $$k$$ - число квартир в подъезде, $$p$$ - число подъездов, $$n$$ - число этажей, $$m$$ - число квартир на этаже. Тогда общее число квартир в доме можно выразить как $$385 = k \cdot p = n \cdot m \cdot p$$. Нам нужно найти наибольшее возможное значение $$k$$. Для этого нужно найти делители числа 385. Разложим 385 на простые множители: $$385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$$. Возможные варианты для $$k$$ и $$p$$: * $$k = 5$$, $$p = 77$$ * $$k = 7$$, $$p = 55$$ * $$k = 11$$, $$p = 35$$ * $$k = 35$$, $$p = 11$$ * $$k = 55$$, $$p = 7$$ * $$k = 77$$, $$p = 5$$ Так как число подъездов должно быть больше одного, то все варианты подходят. Наибольшее число квартир в подъезде - 77. Теперь нужно проверить, что существуют такие $$n$$ и $$m$$, что $$k = n \cdot m$$. * Если $$k = 77$$, то $$77 = 7 \cdot 11$$, то есть может быть 7 этажей и 11 квартир на этаже (или наоборот). Ответ: 77