В1. Найдите периметр и площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а одна из диагоналей – 8 см.

Пусть ромб ABCD, где AB = BC = CD = DA = 5 см, а диагональ AC = 8 см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - O. Тогда AO = OC = 4 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора:

$$AO^2 + BO^2 = AB^2$$

$$4^2 + BO^2 = 5^2$$

$$16 + BO^2 = 25$$

$$BO^2 = 25 - 16 = 9$$

$$BO = \sqrt{9} = 3$$

Значит, вторая диагональ BD = 2 * BO = 2 * 3 = 6 см.

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон:

$$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 5 = 20$$ см.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$$ см².