В14. Образующая конуса образует с основанием угол а = arccos . Вычислите объем конуса V, если площадь его боковой поверхности равна 60п. В ответ укажите /п. 3 5 V

Шаг 1: Найдем радиус основания конуса

Площадь боковой поверхности конуса задается формулой: S = πrL, где r - радиус основания, L - образующая конуса.

Дано: S = 60π, α = arccos(3/5), следовательно, cos(α) = 3/5.

Также известно, что cos(α) = r/L, где α - угол между образующей и основанием.

Таким образом, r/L = 3/5, откуда L = (5/3)r.

Подставим в формулу площади боковой поверхности:

\[60\pi = \pi r \cdot \frac{5}{3}r\]

\[60 = \frac{5}{3}r^2\]

\[r^2 = \frac{60 \cdot 3}{5} = 36\]

\[r = \sqrt{36} = 6\]

Шаг 2: Найдем высоту конуса

Известно, что sin(α) = H/L, где H - высота конуса.

Так как cos(α) = 3/5, то sin(α) = √(1 - cos²(α)) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5.

Тогда H = L * sin(α) = (5/3)r * (4/5) = (4/3)r = (4/3) * 6 = 8.

Шаг 3: Вычислим объем конуса

Объем конуса задается формулой: V = (1/3)πr²H.

\[V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = \frac{1}{3} \pi (36) (8) = 12 \pi (8) = 96\pi\]

Шаг 4: Найдем V/π

\[\frac{V}{\pi} = \frac{96\pi}{\pi} = 96\]