В10. Решите неравенство log5 (log3 x - 1) + log5(log3x + 3) ≤ 1. В ответ укажите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства.

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(bc)

\[\log_5((\log_3 x - 1)(\log_3 x + 3)) \le 1\]

Шаг 2: Убираем логарифм по основанию 5

Используем определение логарифма: если logₐ(b) ≤ c, то b ≤ aᶜ

\[(\log_3 x - 1)(\log_3 x + 3) \le 5\]

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем

\[(\log_3 x)^2 + 3\log_3 x - \log_3 x - 3 \le 5\]

\[(\log_3 x)^2 + 2\log_3 x - 8 \le 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство относительно log₃x

Пусть y = log₃x. Тогда неравенство принимает вид:

\[y^2 + 2y - 8 \le 0\]

Находим корни квадратного уравнения y² + 2y - 8 = 0:

\[D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\]

\[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\]

\[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4\]

Следовательно, \[-4 \le y \le 2\]

Шаг 5: Возвращаемся к переменной x

\[-4 \le \log_3 x \le 2\]

Шаг 6: Решаем двойное неравенство

\[3^{-4} \le x \le 3^2\]

\[\frac{1}{81} \le x \le 9\]

Шаг 7: Учитываем ОДЗ

log₃x - 1 > 0 и log₃x + 3 > 0, следовательно, log₃x > 1, значит, x > 3

Шаг 8: Находим пересечение решения и ОДЗ

\[3 < x \le 9\]

Шаг 9: Находим наибольшее и наименьшее целые решения

Наименьшее целое решение: 4

Наибольшее целое решение: 9

Шаг 10: Вычисляем произведение наибольшего и наименьшего целых решений

\[4 \cdot 9 = 36\]