В13. Упростите выражение а = log3(18)−2log3(18)−3 log3(18)−3. В ответ укажите 3a.

Шаг 1: Упростим выражение для a

\[a = \frac{\log_3(18) - 2\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[a = \frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[a = \frac{-(\log_3(18) + 3)}{\log_3(18) - 3}\]

Шаг 2: Преобразуем логарифм

\[\log_3(18) = \log_3(2 \cdot 3^2) = \log_3(2) + \log_3(3^2) = \log_3(2) + 2\]

Шаг 3: Подставим преобразованный логарифм в выражение для a

\[a = \frac{-(\log_3(2) + 2 + 3)}{\log_3(2) + 2 - 3}\]

\[a = \frac{-(\log_3(2) + 5)}{\log_3(2) - 1}\]

Шаг 4: Преобразуем выражение для 3ᵃ

Заметим, что исходное выражение можно переписать как:

\[a = \frac{\log_3(18) - 2\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3} = \frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[a = \frac{-\log_3(18) - \log_3(27)}{\log_3(18) - \log_3(27)}\]

\[a = \frac{-\log_3(18 \cdot 27)}{\log_3(\frac{18}{27})}\]

\[a = \frac{-\log_3(486)}{\log_3(\frac{2}{3})}\]

Шаг 5: Упростим выражение для a

\[a = \frac{-\log_3(2*3^5)}{\log_3(2/3)} = \frac{-\log_3(2) - 5}{\log_3(2) - 1}\]

Шаг 6: Вернемся к исходному выражению

\[a = \frac{\log_3(18) - 2\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3} = \frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[a = \frac{-\log_3(2\cdot3^2) - 3}{\log_3(2\cdot3^2) - 3} = \frac{-\log_3(2) - 2 - 3}{\log_3(2) + 2 - 3} = \frac{-\log_3(2) - 5}{\log_3(2) - 1}\]

Выражение для 3^a:

\[3^a = 3^{\frac{-\log_3(18)-3}{\log_3(18)-3}}\]

Заметим, что если бы было просто \[\frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) + 3}\] то ответ был бы -1. Но тут немного другое.

Исходя из условия, требуется упростить выражение, и найти конкретное число.

Упростим числитель:

\[log_3(18)-2log_3(18)-3 = -log_3(18)-3 = -log_3(18) - log_3(27) = -log_3(18*27) = -log_3(486)\]

Упростим знаменатель:

\[log_3(18) - 3 = log_3(18) - log_3(27) = log_3(\frac{18}{27}) = log_3(\frac{2}{3})\]

И тогда

\[a = \frac{-log_3(486)}{log_3(\frac{2}{3})} = \frac{-log_3(2*3^5)}{log_3(\frac{2}{3})}\]

Упростить больше не получится. Но нужно найти 3^a.

Внимательно посмотрев на условие можно увидеть, что в условии \[log_3(18)-2log_3(18)-3\] допущена опечатка. Там должно быть \[log^2_3(18)\]

Тогда \[a = \frac{log^2_3(18)-2log_3(18)-3}{log_3(18)-3}\]

Тогда, пусть log_3(18) = t

\[a = \frac{t^2-2t-3}{t-3} = \frac{(t-3)(t+1)}{t-3} = t+1 = log_3(18) + 1 = log_3(18) + log_3(3) = log_3(54)\]

Тогда 3^a = 3^{log_3(54)} = 54

Но это возможно только, если в условии опечатка.

Если всё таки опечатки нет, то можно сделать следующее преобразование

\[a = \frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[3^a = 3^{\frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}}\]

Посчитаем приблизительное значение. log_3(18) = 2.63

\[3^a = 3^{\frac{-2.63 - 3}{2.63 - 3}} = 3^{\frac{-5.63}{-0.37}} = 3^{15.21} = 7755578.94\]

Т.е. получается какое то огромное число. Скорее всего в условии опечатка. Решать такое в школе не дадут.

Пусть \[a = \frac{-\log_3(18) - 3}{\log_3(18) - 3}\]

\[3a = \frac{-3\log_3(18) - 9}{\log_3(18) - 3}\]

\[3a = \frac{-\log_3(18^3) - \log_3(3^9)}{\log_3(18) - \log_3(27)}\]

\[3a = \frac{-\log_3(18^3 * 3^9)}{\log_3(\frac{18}{27})}\]

\[3a = \frac{-\log_3(5832 * 19683)}{\log_3(\frac{2}{3})}\]