В11. Решите уравнение 2sinxcos³x − cosxsinx = принадлежащих промежутку [−; ]. √2 . В ответ укажите число корней уравнения, 8 π 5π 2 4

Шаг 1: Упростим уравнение

\[2\sin x \cos^3 x - \cos x \sin x = \frac{\sqrt{2}}{8}\]

\[\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1) = \frac{\sqrt{2}}{8}\]

Используем формулу двойного угла для косинуса: 2cos²x - 1 = cos2x

\[\sin x \cos x \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{8}\]

Шаг 2: Преобразуем произведение sinxcosx

Используем формулу двойного угла для синуса: sin2x = 2sinxcosx

\[\frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{8}\]

\[\sin 2x \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Шаг 3: Снова используем формулу двойного угла для синуса

\[\frac{1}{2} \sin 4x = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

\[\sin 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Шаг 4: Решаем полученное тригонометрическое уравнение

\[4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

\[4x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 5: Находим x

\[x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 6: Находим корни, принадлежащие промежутку [-π/2; 5π/4]

Для первого семейства корней: x = π/16 + πk/2

k = -1: x = π/16 - π/2 = -7π/16 (принадлежит промежутку)

k = 0: x = π/16 (принадлежит промежутку)

k = 1: x = π/16 + π/2 = 9π/16 (принадлежит промежутку)

k = 2: x = π/16 + π = 17π/16 (принадлежит промежутку)

k = 3: x = π/16 + 3π/2 = 25π/16 (не принадлежит промежутку, т.к. 25/16 > 5/4 = 20/16)

Для второго семейства корней: x = 3π/16 + πn/2

n = -1: x = 3π/16 - π/2 = -5π/16 (принадлежит промежутку)

n = 0: x = 3π/16 (принадлежит промежутку)

n = 1: x = 3π/16 + π/2 = 11π/16 (принадлежит промежутку)

n = 2: x = 3π/16 + π = 19π/16 (принадлежит промежутку)

n = 3: x = 3π/16 + 3π/2 = 27π/16 (не принадлежит промежутку, т.к. 27/16 > 5/4 = 20/16)

Шаг 7: Считаем количество корней на заданном промежутке

Корни: -7π/16, -5π/16, π/16, 3π/16, 9π/16, 11π/16, 17π/16, 19π/16

Всего 8 корней.