4. В однокруговом футбольном турнире принимало участие несколько команд. За победу в матче начислялось 3 очка, за ничью — 1, за поражение 0. После завершения турнира судейская коллегия для каждой команды посчитала произведение набранных ей очков во всех матчах и наградила первое, второе и третье места. Могло ли такое случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, оказалась не награждена? Обоснуйте свой ответ.

Да, такое могло случиться. Например, рассмотрим случай с тремя командами: А, Б и В.

Предположим, результаты матчей следующие:

• A - Б: ничья (1 очко каждой)
• A - В: победа A (3 очка A, 0 очков B)
• Б - В: победа Б (3 очка Б, 0 очков B)

Тогда:

• У команды A: 1 + 3 = 4 очка. Произведение очков: 4.
• У команды Б: 1 + 3 = 4 очка. Произведение очков: 4.
• У команды В: 0 + 0 = 0 очков. Произведение очков: 0.

Теперь предположим другие результаты:

• A - Б: победа A (3 очка A, 0 очков Б)
• A - В: ничья (1 очко каждой)
• Б - В: победа Б (3 очка Б, 0 очков B)

Тогда:

• У команды A: 3 + 1 = 4 очка. Произведение очков: 4.
• У команды Б: 0 + 3 = 3 очка. Произведение очков: 3.
• У команды В: 1 + 0 = 1 очко. Произведение очков: 1.

Теперь предположим другие результаты:

• A - Б: победа A (3 очка A, 0 очков Б)
• A - В: победа A (3 очка каждой)
• Б - В: победа Б (3 очка Б, 0 очков B)

Тогда:

• У команды A: 3 + 3 = 6 очков. Произведение очков: 6.
• У команды Б: 0 + 3 = 3 очка. Произведение очков: 3.
• У команды В: 0 + 0 = 0 очков. Произведение очков: 0.

Если команда В сыграла вничью, то у нее 1 очко и произведение равно 1*0*0=0. Если команда Б сыграла вничью, то у нее 1 очко и произведение равно 3*1*0=0.

Таким образом, команда, набравшая наибольшее количество очков (A), не обязательно имеет наибольшее произведение. Команда с меньшим количеством очков может иметь ненулевое произведение, и получить награду.

Ответ: Да, такое возможно.