В окружность радиуса 3 вписана трапеция. Ее высота равна 2, а боковая сторона 3. Найдите диагональ трапеции.

Вписанная в окружность трапеция равнобедренная. Горизонтальная проекция боковой стороны равна \(\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5\).

Расположим центр окружности в начале координат, а основания трапеции — горизонтально. Обозначим координаты левых вершин как \((-x_1,y-1)\) и \((-x_2,y+1)\), где \(x_1=x+\dfrac{\sqrt5}{2}\), \(x_2=x-\dfrac{\sqrt5}{2}\). Обе вершины лежат на окружности радиуса 3:

\(\left(x+\dfrac{\sqrt5}{2}\right)^2+(y-1)^2=9\),
\(\left(x-\dfrac{\sqrt5}{2}\right)^2+(y+1)^2=9\).

Вычитая равенства, получаем \(x=\dfrac{2y}{\sqrt5}\). Подстановка в одно из равенств даёт \(x^2+y^2=\dfrac{27}{4}\), откуда \(y^2=\dfrac{15}{4}\) и \(x^2=3\).

Горизонтальная проекция диагонали равна \(x_1+x_2=2x=2\sqrt3\), а вертикальная — 2. Поэтому длина диагонали:

\(d=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4\).

Ответ: 4.