3. В окружность радиусом 10 см вписан квадрат ABCD. Найдите площадь кольца, ограниченного данной и вписанной в квадрат окружностями.

Пусть радиус большей окружности (описанной около квадрата) равен R, а радиус меньшей окружности (вписанной в квадрат) равен r. Дано: R = 10 см. Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ квадрата равна диаметру окружности. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда, по теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = (2R)^2$$ $$2a^2 = 4R^2$$ $$a^2 = 2R^2$$ $$a = R\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$ Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата: $$r = \frac{a}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$ Площадь кольца равна разности площадей большей и меньшей окружностей: $$S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (10^2 - (5\sqrt{2})^2) = \pi (100 - 25 \cdot 2) = \pi (100 - 50) = 50\pi$$ Ответ: Площадь кольца равна $$50\pi \text{ см}^2$$