В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 7 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Дано:

• Большая окружность с центром О, радиус R = 10 см.
• Диаметр большой окружности.
• Точка А на диаметре, OA = 7 см.
• Маленькая окружность касается диаметра в точке А и изнутри касается большой окружности.

Найти: Радиус маленькой окружности (r).

Решение:

1. Пусть центр маленькой окружности будет О₁.
2. Так как маленькая окружность касается диаметра в точке А, то радиус О₁А перпендикулярен диаметру.
3. Так как маленькая окружность касается большой окружности изнутри, то центры О и О₁ и точка касания лежат на одной прямой.
4. Расстояние от центра большой окружности до точки касания с маленькой окружностью равно радиусу большой окружности: R = 10 см.
5. Расстояние от центра большой окружности до точки А равно OA = 7 см.
6. Расстояние от точки А до центра маленькой окружности О₁ равно радиусу маленькой окружности r.
7. Рассмотрим расположение центров и точки касания на диаметре. Центр большой окружности О, точка А, центр маленькой окружности О₁.
8. Есть два случая расположения точки А относительно центра О:
• Случай 1: Точка А находится между центром О и точкой касания маленькой окружности с большой. Тогда расстояние от О до точки касания равно R. Расстояние от О до О₁ равно R - r. Также, OA + O₁A = R.
• 7 см + r = 10 см.
• r = 10 см - 7 см = 3 см.
9. Проверка: Если r = 3 см, то центр О₁ находится на расстоянии 3 см от А.
• Если О₁ находится дальше от О, чем А, то OO₁ = OA + O₁A = 7 + 3 = 10 см. Это равно R, значит, маленькая окружность касается большой.
• Если О₁ находится ближе к О, чем А, то OA = OO₁ + O₁A. 7 = OO₁ + 3, OO₁ = 4 см.
10. Второй случай: Точка А находится между центром маленькой окружности О₁ и точкой касания с большой окружностью. Тогда расстояние от О до О₁ равно r - OA (если О₁ дальше от О, чем А) или OA - r (если А дальше от О, чем О₁).
11. Но так как касание происходит изнутри, центры и точка касания лежат на одной прямой. Расстояние от центра О большой окружности до точки касания равно R. Расстояние от центра О₁ маленькой окружности до точки касания равно r.
12. Расстояние между центрами OO₁ = R - r.
13. Точка А лежит на диаметре.
14. Если точка А находится между О и О₁, то OA = OO₁ - O₁A => 7 = (10-r) - r => 7 = 10 - 2r => 2r = 3 => r = 1.5 см.
15. Если точка О₁ находится между О и А, то OA = OO₁ + O₁A => 7 = (10-r) + r => 7 = 10, что невозможно.
16. Если точка О находится между О₁ и А, то O₁A = O₁O + OA => r = (10-r) + 7 => 2r = 17 => r = 8.5 см.
17. Рассмотрим первый вариант, когда точка А находится между центром О и точкой касания маленькой окружности с большой. Тогда расстояние от центра О до точки касания с маленькой окружностью равно R. Точка А находится на расстоянии 7 см от О. Радиус маленькой окружности r.
18. Расстояние от О до центра О₁ равно R - r.
19. Расстояние от О₁ до А равно r.
20. Поскольку А лежит на диаметре, то расстояние от О до А = 7 см.
21. Точка касания маленькой окружности с большой лежит на диаметре.
22. Если А находится между О и точкой касания, то OА + r = R => 7 + r = 10 => r = 3.
23. Если О находится между А и точкой касания, то OA - r = R (невозможно, т.к. OA < R) или r - OA = R (невозможно).
24. Если точка касания находится между О и А, то R = OA + r => 10 = 7 + r => r = 3.
25. Либо OА + OO₁ = R, где OO₁ = r. ОА + r = R => 7 + r = 10 => r = 3.

Ответ: Радиус второй окружности равен 3 см.