*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметр и изнутри касается данной окружности.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Пусть большая окружность имеет центр O и радиус R = 10 см. Проведен диаметр MN.

2. Точка А находится на диаметре MN, на некотором расстоянии от центра O. В условии указано "на см от центра", что является недостающим значением. Предположим, что точка А находится на расстоянии 'x' см от центра.

3. Вторая окружность касается диаметра MN (то есть, перпендикулярно ему в точке касания) и изнутри касается большой окружности. Пусть центр второй окружности будет O', а ее радиус r.

4. Так как вторая окружность касается большой окружности изнутри, то расстояние между их центрами OO' равно разности радиусов: OO' = R - r = 10 - r.

5. Так как вторая окружность касается диаметра MN, то ее центр O' будет находиться на перпендикуляре к MN в точке касания. Если точка касания с диаметром — это точка А, то O'A = r и O'A перпендикулярно MN.

6. Рассмотрим случай, когда точка А является центром второй окружности (O' = A). Тогда расстояние от центра O до A равно x. И O'A = r, значит, x = r.

7. В этом случае OO' = OA = x. Тогда 10 - r = x. Поскольку x = r, имеем: 10 - r = r => 10 = 2r => r = 5 см.

Вывод: Если точка А является центром второй окружности, то радиус второй окружности равен 5 см. В этом случае, точка А находится на расстоянии 5 см от центра большей окружности.

Если в условии предполагалось иное расположение точки А:

Предположим, что точка А — это точка касания второй окружности с диаметром. Тогда центр второй окружности O' будет находиться на расстоянии r от точки А, и отрезок O'A будет перпендикулярен диаметру.

В этом случае, расстояние от центра O до центра O' будет зависеть от положения точки А. Если А находится между O и M (или O и N), то OO' = OA + AO' = x + r, если A совпадает с O, то OO' = r. Если A находится вне отрезка OM, но на диаметре, то OO' = |OA - O'A| = |x-r|.

Так как вторая окружность касается большой окружности изнутри, расстояние между центрами OO' = R - r = 10 - r.

Если точка А является центром второй окружности, то OA = r. Тогда OO' = OA, что равно 10 - r. Следовательно, r = 10 - r, что дает 2r = 10, и r = 5 см.

Ответ: Радиус второй окружности равен 5 см (при условии, что точка А является центром второй окружности, и расстояние от центра большей окружности до точки А равно радиусу меньшей окружности).