В окружности с радиусом 10 см проведён диаметр и на нём отмечена точка в 6 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке первой окружности.

Пусть O - центр первой окружности, R - её радиус (R = 10 см), A - точка на диаметре, удаленная от O на 6 см. Пусть O1 - центр второй окружности, r - её радиус. Вторая окружность касается диаметра первой окружности в точке A и касается самой первой окружности.

Рассмотрим два случая:

1. Вторая окружность касается первой окружности внутренним образом.

В этом случае расстояние между центрами O и O1 равно разности радиусов: OO1 = R - r. Также, O1A = r. Значит, OA + O1A = OO1, то есть 6 + r = 10 - r. Отсюда 2r = 4, r = 2 см.

2. Вторая окружность касается первой окружности внешним образом.

В этом случае расстояние между центрами O и O1 равно сумме радиусов: OO1 = R + r. Также, O1A = r. Значит, OA + O1A = OO1, то есть 6 + r = 10 + r. Это уравнение не имеет решений.

Таким образом, радиус второй окружности равен 2 см.