3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Рассмотрим треугольники OAK и OBK. В них: 1. OA = OB (как радиусы окружности). 2. OK – общая сторона. 3. ∠OAK = ∠OBK (по условию). Однако этого недостаточно, чтобы доказать равенство треугольников, так как это случай равенства для двух сторон и не содержащегося между ними угла. Но рассмотрим углы AKD и BKD. Поскольку DK - диаметр, то углы DAK и DBK прямые (опираются на диаметр). Тогда ∠OKA = 90° - ∠OAK, а ∠OKB = 90° - ∠OBK. Так как ∠OAK = ∠OBK, то и ∠OKA = ∠OKB. Таким образом, треугольники OAK и OBK равны по двум сторонам (OA = OB, OK – общая) и углу между ними (∠OKA = ∠OKB). Следовательно, AK = BK (как соответственные стороны равных треугольников). Что и требовалось доказать.