25 В окружности с центром в точке О проведены две хорды АВ и СД. Прямые АВ и CD перпен- дикулярны и пересекаются в точке Ѕ, лежащей вне окружности. Найдите OS, если длина хорды CD равна 2√46, а расстояния от точки 5 до точек А и В соответственно равны 18 и 3.

Обозначим $$SA = 18$$, $$SB = 3$$, $$CD = 2\sqrt{46}$$.

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке S, лежащей вне окружности.

По теореме о пересекающихся хордах: $$SA \cdot SB = SC \cdot SD$$. Тогда $$18 \cdot 3 = SC \cdot SD$$, следовательно, $$SC \cdot SD = 54$$.

Обозначим $$SC = x$$, тогда $$SD = x + CD = x + 2\sqrt{46}$$. Тогда $$x \cdot (x + 2\sqrt{46}) = 54$$.

$$x^2 + 2\sqrt{46}x - 54 = 0$$

$$D = (2\sqrt{46})^2 - 4 \cdot (-54) = 4 \cdot 46 + 216 = 184 + 216 = 400 = 20^2$$

$$x_1 = \frac{-2\sqrt{46} + 20}{2} = -\sqrt{46} + 10$$

$$x_2 = \frac{-2\sqrt{46} - 20}{2} = -\sqrt{46} - 10$$ (не подходит, так как SC не может быть отрицательным).

Тогда $$SC = 10 - \sqrt{46}$$ и $$SD = 10 + \sqrt{46}$$.

Точка О - центр окружности. Проведем перпендикуляры к хордам CD и AB, которые будут делить эти хорды пополам. Назовем точки касания M и N соответственно.

Тогда $$CM = MD = \frac{CD}{2} = \sqrt{46}$$ и $$AN = NB = \frac{SA+SB}{2} = \frac{18+3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$$

Пусть $$ON = y$$, тогда $$OM = SA + AN - ON = 18 + 10.5 - y = 28.5 - y$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OCM: $$OC^2 = OM^2 + CM^2$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAN: $$OA^2 = ON^2 + AN^2$$. Так как OA = OC = R (радиус окружности), то $$OM^2 + CM^2 = ON^2 + AN^2$$.

Тогда $$(28.5 - y)^2 + (\sqrt{46})^2 = y^2 + 10.5^2$$

$$812.25 - 57y + y^2 + 46 = y^2 + 110.25$$

$$858.25 - 57y = 110.25$$

$$57y = 748$$

$$y = \frac{748}{57} = 13.12$$

Тогда $$OS = ON + SB = y + 3 = 13.12 + 3 = 16.12$$

Ответ: 24