3. В окружности с центром в точке O проведены хорды AB и диаметр BC. Найти углы треугольника AOB, если угол ABO =35°.

Рассмотрим окружность с центром в точке O. Проведены хорда AB и диаметр BC. Угол ABO равен 35°. Нужно найти углы треугольника AOB.

Так как BC - диаметр, то угол BAC - прямой (опирается на диаметр), то есть ∠BAC = 90°.

В треугольнике ABC известны два угла: ∠ABC = 35° и ∠BAC = 90°. Найдем угол ∠ACB:

$$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 90° - 35° = 55°$$

Теперь рассмотрим треугольник AOB. OA и OB - радиусы окружности, значит, OA = OB. Следовательно, треугольник AOB - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OAB = ∠OBA = 35°.

Найдем угол ∠AOB:

$$∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 35° - 35° = 110°$$

Ответ: углы треугольника AOB равны: ∠OAB = 35°, ∠OBA = 35°, ∠AOB = 110°.