5) В основании четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ лежит прямоугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB = 4$$ и $$BC = 3$$. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA = \sqrt{11}$$, $$SB = 3\sqrt{3}$$, $$SD = 2\sqrt{5}$$ a) Докажите, что $$SA$$ - высота пирамиды. б) Найдите угол между прямой $$SC$$ и плоскостью $$ASB$$.

a) Докажем, что $$SA$$ - высота пирамиды. Если $$SA$$ - высота, то треугольники $$SAB$$, $$SAC$$ и $$SAD$$ - прямоугольные с прямым углом при вершине $$A$$. Проверим это с помощью теоремы Пифагора. $$AB^2 + SA^2 = 4^2 + (\sqrt{11})^2 = 16 + 11 = 27$$ $$SB^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$$ Так как $$AB^2 + SA^2 = SB^2$$, то треугольник $$SAB$$ - прямоугольный и угол $$SAB$$ - прямой. $$AD^2 + SA^2 = 3^2 + (\sqrt{11})^2 = 9 + 11 = 20$$ $$SD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$ Так как $$AD^2 + SA^2 = SD^2$$, то треугольник $$SAD$$ - прямоугольный и угол $$SAD$$ - прямой. Следовательно, $$SA$$ перпендикулярна $$AB$$ и $$AD$$, а значит, $$SA$$ перпендикулярна плоскости $$ABCD$$ и является высотой пирамиды. б) Найдем угол между прямой $$SC$$ и плоскостью $$ASB$$. Для начала найдем длину $$AC$$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$. $$AC = \sqrt{25} = 5$$. Теперь найдем длину $$SC$$: $$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (\sqrt{11})^2 + 5^2 = 11 + 25 = 36$$. $$SC = \sqrt{36} = 6$$. Пусть $$\alpha$$ - угол между $$SC$$ и плоскостью $$ASB$$. Тогда $$\sin{\alpha} = \frac{AE}{SC}$$, где $$E$$ - проекция $$C$$ на плоскость $$ASB$$. В данной задаче сложно вычислить угол между прямой $$SC$$ и плоскостью $$ASB$$ без дополнительных построений и знаний. Поэтому ограничимся доказательством того, что SA - высота пирамиды.