4. В остроугольном равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота AD. Найдите сторону АС, если известно, что BD = 8 см, DC = 2 см.

Пусть AB = BC = x. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника ABD: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$, значит, $$x^2 = AD^2 + 8^2$$. Для треугольника ADC: $$AD^2 + DC^2 = AC^2$$, значит, $$AD^2 + 2^2 = x^2$$. Тогда $$AD^2 = AC^2 - 4$$. Подставим в первое уравнение: $$x^2 = AC^2 - 4 + 64$$ $$x^2 = AC^2 + 60$$ Но мы знаем, что AC = AD + DC, AC = x. Получаем Пусть $$AC = y$$, тогда $$x^2 = y^2 - 4 + 64$$ $$y = 8 + 2 = 10$$ Тогда $$x = 10$$. Получаем: $$AB = BC = 10$$ Тогда ошибка в условии задачи, потому что $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а $$BD = 8$$ см, $$DC = 2$$ см. Тогда $$AC = BD + DC = 8 + 2 = 10$$ Пусть AC = x. Тогда BC = BA = y. $$AC = AD + DC$$. $$AD \perp BC$$ $$\triangle ADC$$, $$y^2 = x^2 + 2^2$$. $$y^2 = x^2 + 4$$ $$\triangle ADB$$, $$y^2 = 8^2 + (x - 2)^2$$ Тогда $$x^2 + 4 = 64 + x^2 - 4x + 4$$ $$4 = 68 - 4x$$ $$4x = 64$$ $$x = 16$$ **Ответ: 16 см**