В трапеции ABCD (рис. 117) AD = 14 см, DC = 2√6 см, ∠A = 30°, ∠D = 135°. Найдите основание ВС трапеции.

Проведём высоты BK и СМ к основанию AD. Тогда AM + MK + KD = AD = 14. MK = BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK: ∠A = 30°, значит, BK = 1/2 AB. $$AK = BK \cdot \cot{30°} = BK \sqrt{3}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDM: ∠D = 135°, тогда ∠CDM = 180° - 135° = 45°. Следовательно, треугольник CDM равнобедренный и CM = MD. $$CD = 2\sqrt{6}$$. Тогда по теореме Пифагора: $$CM^2 + MD^2 = CD^2$$, $$2CM^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$$, $$CM^2 = 12$$, $$CM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. Следовательно, $$KD = 2\sqrt{3}$$. Т.к. BK = CM, то $$BK = 2\sqrt{3}$$. $$AK = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$$ см. Тогда $$BC = MK = AD - AM - KD = 14 - 6 - 2\sqrt{3} = 8 - 2\sqrt{3}$$ см. **Ответ: $$8 - 2\sqrt{3}$$ см**