В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что углы \(BB_1A_1\) и \(BAA_1\) равны.

Так как \(BB_1\perp AC\), а \(A_1\in BC\), угол \(BB_1A_1\) является углом между прямыми, перпендикулярными соответственно \(AC\) и \(BC\). Следовательно, он равен углу между прямыми \(AC\) и \(BC\):

\[\angle BB_1A_1=\angle ACB.\]

Поскольку \(AA_1\perp BC\), угол \(BAA_1\) является углом между прямыми \(AB\) и перпендикулярной к \(BC\) прямой. Поэтому

\[\angle BAA_1=90^\circ-\angle ABC.\]

В свою очередь, в прямоугольном треугольнике \(ABB_1\):

\[\angle BAA_1=90^\circ-\angle ABC=\angle ACB.\]

Таким образом, \(\angle BB_1A_1=\angle BAA_1\).

Что и требовалось доказать.