В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC1 и BB1. Докажите, что треугольник AC1B1 подобен треугольнику ACB.

1. Анализ условия:

У нас есть остроугольный треугольник ABC. Проведены высоты CC1 и BB1. Это означает, что:

• CC1 ⊥ AB (угол AC1C = 90°, угол BC1C = 90°)
• BB1 ⊥ AC (угол AB1B = 90°, угол CB1B = 90°)

Нам нужно доказать, что треугольник AC₁B₁ подобен треугольнику ACB.

2. Использование признаков подобия треугольников:

Рассмотрим два треугольника: ΔAC₁B₁ и ΔACB.

а) Общий угол:

У этих треугольников есть общий угол ∠A. Это первый признак подобия.

б) Дополнительные равенства углов:

Рассмотрим четырехугольник BC₁B₁C. В нем:

• ∠AC₁B = 90° (так как CC1 - высота)
• ∠AB₁C = 90° (так как BB1 - высота)

Сумма углов BC₁C и CB₁B равна 180° (90° + 90° = 180°). Следовательно, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности (описанной около гипотенузы BC).

В этой окружности углы ∠AC₁B₁ и ∠ACB являются вписанными углами, опирающимися на одну дугу (дугу AB₁). Следовательно, ∠AC₁B₁ = ∠ACB.

Аналогично, углы ∠AB₁C₁ и ∠ABC также являются вписанными и опираются на дугу AC₁, значит ∠AB₁C₁ = ∠ABC.

3. Вывод по признаку подобия:

Поскольку в треугольнике AC₁B₁ два угла соответственно равны двум углам треугольника ACB (угол A общий, и ∠AC₁B₁ = ∠ACB), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Таким образом, доказано, что треугольник AC₁B₁ подобен треугольнику ACB.