В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и ВК. Докажите, что углы АНК и АВК равны.

Пусть дан остроугольный треугольник АВС, в котором проведены высоты АН и ВК. Требуется доказать, что углы АНК и АВК равны.

Рассмотрим четырехугольник CKNH. Углы СКА и СНА прямые (так как АН и ВК - высоты), следовательно, их сумма равна 180 градусам. Это означает, что вокруг четырехугольника CKNH можно описать окружность. Тогда углы СНК и СВК, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: $$\angle{CHK} = \angle{CBK}$$.

Далее, углы АНК и СНК - смежные, поэтому $$\angle{ANK} = 180^\circ - \angle{CNK}$$. Также, углы АВК и СВК - это углы, из которых состоит угол СВА. Следовательно, $$\angle{ABK} = 90^\circ - A $$. $$\angle{AKN}$$.

Углы AKB и AHB также прямые-значит вокруг ABKH тоже можно описать окружность. Углы ABK и AHK, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ответ: доказано