24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ, и СС1. Докажите, что углы СС,В, и СВВ, равны.

Докажем, что углы $$CC_1B_1$$ и $$CBB_1$$ равны.

1) Рассмотрим четырехугольник $$AB_1HC_1$$. В нем $$\angle AB_1H = 90^\circ$$ и $$\angle AC_1H = 90^\circ$$. Значит, около этого четырехугольника можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусам.

2) Углы $$\angle C_1B_1A$$ и $$\angle C_1HA$$ опираются на одну и ту же дугу $$AC_1$$, следовательно, они равны.

3) Углы $$\angle CBB_1$$ и $$\angle C_1HA$$ равны как углы, дополняющие угол $$BCA$$ до 90 градусов (так как треугольники $$CBB_1$$ и $$AC_1H$$ прямоугольные).

4) Следовательно, углы $$\angle C_1B_1A$$ и $$\angle CBB_1$$ равны.

5) Угол $$\angle CC_1B_1$$ является внешним углом треугольника $$AB_1C_1$$, поэтому $$\angle CC_1B_1 = 180^\circ - \angle C_1B_1A$$.

6) Угол $$\angle CBB_1$$ является внутренним углом треугольника $$CBB_1$$, поэтому $$\angle CBB_1 = 90^\circ - \angle BCB_1$$.

7) Так как $$\angle C_1B_1A = \angle CBB_1$$, то $$\angle CC_1B_1 = 180^\circ - \angle CBB_1$$.

Следовательно, углы $$\angle CC_1B_1$$ и $$\angle CBB_1$$ равны.