В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 5, AD = 12, AA₁ = 13. Найти расстояние от точки C до плоскости A₁BD.

Для произвольного параллелепипеда одних длин рёбер недостаточно: расстояние зависит также от углов между рёбрами. Если подразумевается прямоугольный параллелепипед, положим \(A=(0,0,0)\), \(B=(5,0,0)\), \(D=(0,12,0)\), \(A_1=(0,0,13)\), тогда \(C=(5,12,0)\).

Плоскость через точки \(B,D,A_1\) в отрезках задаётся уравнением \(\frac{x}{5}+\frac{y}{12}+\frac{z}{13}=1\), то есть \(156x+65y+60z-780=0\).

Расстояние от \(C\) до этой плоскости:

\[d=\frac{|156\cdot5+65\cdot12+60\cdot0-780|}{\sqrt{156^2+65^2+60^2}}=\frac{780}{\sqrt{32161}}.\]

Ответ: для произвольного параллелепипеда данных недостаточно. Если он прямоугольный, расстояние равно \(\frac{780}{\sqrt{32161}}\).