Вариант 1. Даны точки A(2, −1, 3), B(−1, 2, 4), C(3, 0, −2). Найти длину вектора AB; найти координаты вектора BC; написать уравнение прямой AC.

1. \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\ 2-(-1),\ 4-3)=(-3,3,1)\). Поэтому длина вектора \(AB\): \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+3^2+1^2}=\sqrt{19}\).

2. \(\overrightarrow{BC}=C-B=(3-(-1),\ 0-2,\ -2-4)=(4,-2,-6)\).

3. Направляющий вектор прямой \(AC\): \(\overrightarrow{AC}=C-A=(1,1,-5)\). Через точку \(A(2,-1,3)\) прямая имеет уравнение

   \[\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-5}.\]

Ответ: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{19}\), \(\overrightarrow{BC}=(4,-2,-6)\), \(AC:\ \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-5}\).