В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 70°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Обозначим сторону AB как \( x \). Тогда диагональ AC равна \( 2x \).
2. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны, следовательно, AB = CD = \( x \) и BC = AD.
3. Рассмотрим треугольник ACD. Стороны AC = \( 2x \) и CD = \( x \).
4. Угол ACD = 70°.
5. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит, ∠ABC = ∠ADC.
6. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит, ∠BAD + ∠ADC = 180° и ∠BCD + ∠ADC = 180°.
7. Также, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда ∠ACD = ∠CAB = 70° (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
8. В параллелограмме ABCD диагонали делятся точкой пересечения пополам.
9. В треугольнике ABC: AC = 2AB.
10. В треугольнике AOC: AO = OC.
11. В треугольнике AOB: AO = OC, AB = CD.
12. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, а угол ∠ACD = 70°.
13. Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠ACD = 70° (накрест лежащие углы).
14. В параллелограмме ABCD, AB = CD. Дано: AC = 2AB.
15. Пусть AB = x, тогда AC = 2x. CD = x.
16. В треугольнике ABC: AB = x, AC = 2x.
17. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда AO = OC = x.
18. Рассмотрим треугольник AOB. Стороны AO = x, AB = x. Треугольник AOB равнобедренный.
19. Угол ∠OAB = ∠BAC = 70°.
20. В равнобедренном треугольнике AOB, углы при основании равны: ∠ABO = ∠BAO = 70°.
21. Тогда ∠AOB = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
22. Угол между диагоналями ∠AOB = 40°.

Ответ: 40.