10. В параллелограмме ABCD диагонали взаимно перпендикулярны. Высота BK, проведенная к стороне AD, пересекает диагональ AC в точке H; HK = 9 см, BH = 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

**Решение задачи:** 1. Определение формы параллелограмма: Поскольку диагонали параллелограмма ABCD взаимно перпендикулярны, это означает, что ABCD — ромб. 2. Рассмотрим треугольник BKH: Этот треугольник прямоугольный (т.к. BK - высота). Мы знаем HK = 9 см и BH = 15 см. Используем теорему Пифагора для нахождения BK: $BK^2 + HK^2 = BH^2$ $BK^2 = BH^2 - HK^2$ $BK^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ $BK = \sqrt{144} = 12$ см 3. Рассмотрим треугольники AHD и CHB: Т.к. ABCD - ромб, то AH=HC. Треугольники AHD и CHB подобны, т.к. диагонали ромба перпендикулярны и углы при основании равны. 4. Найдем высоту ромба: Т.к. AC перпендикулярна BD, точка H - точка пересечения высоты BK и диагонали AC, и HK = 9 см, BH = 15 см, тогда высота ромба BK = 12 см. (ранее было найдено) 5. Найдем диагонали ромба: Диагональ AC: AH + HC = AC, АН = HC, значит АС= 2 * AH AH можно найти из подобия треугольников. Треугольники BHC и AKB подобны, т.к. у них есть общий угол и оба прямоугольные. AK/BH = BK/HC AH/BK = HK/BK Пусть сторона AD = a (так как это ромб все стороны равны) Тогда $S = a * BK$ Т.к. BH=15, HK=9, то находим, что BK=12. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Тогда если обозначим половину одной диагонали за x, а половину второй за y, то: Площадь ромба = 0.5 * (2x) * (2y) = 2xy 6. Найдем площадь параллелограмма (ромба): Площадь ромба можно найти как произведение высоты на сторону: $S = AD * BK$. Поскольку нам не дана сторона AD, нужно найти её. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK, где AB - сторона ромба (AD), BK - высота. $AB^2 = AK^2 + BK^2$ Мы знаем только BK=12 см, AK надо найти. AK = AH+HK S = 2xy = AD * BK = a * 12 7. Вспомним, что ромб можно представить как два равных прямоугольных треугольника, значит BH * AC = AD * BK; AC перпендикулярна BD, значит AH = HC S = 1/2 * AC * BD S = BK * AD Отсюда: $S = a * h$ Сторону ромба можно найти через площадь: $S = a * BK; AD = AB = a$; Используем подобие треугольников: $\triangle BHC \sim \triangle AKB$. Тогда $\frac{BH}{AK} = \frac{BC}{AB}$ $\frac{BH}{BK} = \frac{HC}{AK}$ $AD = \sqrt{12^2+(AK)^2} = \sqrt{144+AK^2}$ $AK = 0.5BD = AH; S= BK*AB$ Ранее было найдено, что ВК = 12, а BH=15, HK=9; А что с остальным делать? **Развернутый ответ:** Задача требует нахождения площади ромба, у которого диагонали перпендикулярны. Известно, что высота, проведенная к стороне, пересекает диагональ, и даны отрезки этой высоты. Для решения нужно сначала определить высоту, затем найти сторону ромба и использовать формулу для площади. **К сожалению, из предоставленной информации невозможно однозначно определить площадь параллелограмма (ромба). Не хватает данных для нахождения стороны AD или полной длины диагоналей. Для точного решения требуется дополнительная информация или другие геометрические соотношения, которые можно вывести из чертежа, которого нет.**