1. В параллелограмме ABCD LA=45°, AB=3√2, ВС=5. Найти скалярное векторов: a) ADAB; 6) BABC ; B) AD BH

1. В параллелограмме ABCD ∠A=45°, AB=3√2, BC=5. Найти скалярное произведение векторов.

а) Найдём скалярное произведение векторов $$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$$.

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot cosA $$

Так как ABCD - параллелограмм, то $$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BC}| = 5$$.

$$ |\overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{2}$$.

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot cos45° = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 $$.

б) Найдём скалярное произведение векторов $$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$$.

$$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot cos(180°-A) $$

$$ |\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{2}$$.

$$ |\overrightarrow{BC}| = 5$$.

$$ cos(180°-A) = -cosA = -cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$.

$$ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -15 $$.

в) Найдём скалярное произведение векторов $$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH}$$.

Пусть BH - высота, опущенная из вершины B на сторону AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

$$ AH = AB \cdot cos45° = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 $$.

$$ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{AH}| = 5 \cdot 0 = 0 $$.

Т.к. $$ \overrightarrow{AD} $$ и $$ \overrightarrow{BH} $$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Ответ: a) 15; б) -15; в) 0