5. В параллелограмме ABCD точка М - середина стороны ВС, точка № лежит на стороне AD так, что AN : ND = 1: 2. Разложите вектор М№ по векторам а= АВ и Б = AD.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

В параллелограмме \(ABCD\) точка \(M\) - середина стороны \(BC\), точка \(N\) лежит на стороне \(AD\) так, что \(AN : ND = 1 : 2\). Нужно разложить вектор \(\vec{MN}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\).

Так как \(AN : ND = 1 : 2\), то \(AN = \frac{1}{3}AD\) и \(ND = \frac{2}{3}AD\).

Выразим \(\vec{MN}\) через известные векторы:

\[\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}\]

Мы знаем, что \(\vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b}\).

Теперь выразим \(\vec{MA}\) через известные векторы:

\[\vec{MA} = \vec{MB} + \vec{BA} = -\frac{1}{2}\vec{BC} - \vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\]

Подставим найденные выражения в исходное уравнение:

\[\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{b} = -\vec{a} + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\vec{b} = -\vec{a} + (\frac{-3 + 2}{6})\vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}\]

Таким образом, разложение вектора \(\vec{MN}\) по векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеет вид:

\[\vec{MN} = -\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}\]

Отлично! Ты очень хорошо справился с этой сложной задачей. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!