37. В параллелограмме АВСD диагонали являются биссектрисами его углов, AB=82, AC-36. Найдите BD.

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, следовательно, параллелограмм является ромбом. У ромба все стороны равны, то есть AB = BC = CD = DA = 82.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC = AC / 2 = 36 / 2 = 18.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2$$ $$82^2 = 18^2 + BO^2$$ $$6724 = 324 + BO^2$$ $$BO^2 = 6724 - 324 = 6400$$ $$BO = \sqrt{6400} = 80$$

Так как BO = OD, то BD = 2 * BO = 2 * 80 = 160.

Ответ: 160