В параллелограмме COTZ проведена диагональ CT. Точка H является центром окружности, вписанной в треугольник COT. Расстояния от точки H до точки C и до прямых CZ и CT соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма COTZ.

Введём координаты: пусть прямая CZ — ось x, а C=(0; 0). Из HC=5 и расстояния от H до CZ, равного 4, следует, что можно взять H=(3; 4): горизонтальная составляющая равна \(\sqrt{5^2-4^2}=3\).

Поскольку H — центр вписанной окружности треугольника COT, расстояние от H до прямой OT также равно 3. Прямые OT и CZ параллельны, а H находится между ними, поэтому расстояние между ними равно \(4+3=7\). Значит, высота параллелограмма к основанию OT равна 7.

Прямые CO и CT проходят через C и касаются окружности радиуса 3 с центром H. Их уравнения: \(x=0\) и \(7x-24y=0\). Действительно, расстояние от H=(3; 4) до каждой из этих прямых равно 3.

На прямой OT координата y равна 7. Её пересечения с прямыми CO и CT имеют координаты (0; 7) и (24; 7), поэтому \(OT=24\).

Тогда площадь параллелограмма \(S=OT\cdot7=24\cdot7=168\).

Ответ: 168.