4. В пирамиде РАВС боковое ребро РА перпендикулярно к основанию АВС, а грань РВС составляет с ним угол 60°, АВ=АС=5, ВС=8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Пошаговое решение:

1. Так как PA перпендикулярно основанию ABC, то треугольники PAB и PAC - прямоугольные.
2. Площадь треугольника PAB равна площади треугольника PAC: \(S_{PAB} = S_{PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot 5\)
3. Определим высоту AH треугольника ABC, проведённую к стороне BC. \(BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\). По теореме Пифагора: \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\)
4. Угол между гранью PBC и основанием ABC равен углу между высотой PH треугольника PBC и высотой AH треугольника ABC, то есть \(\angle PHA = 60^\circ\)
5. Из прямоугольного треугольника PHA: \(PA = AH \cdot tg(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3}\)
6. Тогда: \(S_{PAB} = S_{PAC} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{15\sqrt{3}}{2}\)
7. Найдем площадь треугольника PBC. Высота PH треугольника PBC: \(PH = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6\). \(S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\)
8. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = S_{PAB} + S_{PAC} + S_{PBC} = \frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{15\sqrt{3}}{2} + 24 = 15\sqrt{3} + 24\)

Ответ: \(15\sqrt{3} + 24\)