3. В правильной четырёхугольной призме диагональ основания равна 6 см, диагональ призмы равна 10 см. Найдите объём призмы.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем сторону основания. Основание - квадрат. Диагональ квадрата связана со стороной \(a\) соотношением \(d = a\sqrt{2}\). Тогда: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\] см.
• Шаг 2: Найдем высоту призмы. Диагональ призмы \(D\), высота призмы \(h\) и диагональ основания \(d\) связаны соотношением \[D^2 = d^2 + h^2\] Тогда: \[h = \sqrt{D^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\] см.
• Шаг 3: Вычислим объём призмы. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания: \[S_{осн} = a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\] см². Объём: \[V = S_{осн} \cdot h = 18 \cdot 8 = 144\] см³.

Ответ: 144 см³