В правильную треугольную призму со стороной основания 12√6 и высотой 8 вписан цилиндр. Вычислите объем этого цилиндра.

В правильной треугольной призме радиус вписанной окружности (и, следовательно, радиус основания цилиндра) равен:

$$ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} $$

где a - сторона основания призмы.

В нашем случае:

$$ r = \frac{12\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{18}}{6} = \frac{12 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = 6\sqrt{2} $$

Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть 8.

Объем цилиндра равен:

$$ V = \pi r^2 h = \pi (6\sqrt{2})^2 \cdot 8 = \pi \cdot 36 \cdot 2 \cdot 8 = 576\pi $$

Ответ: Объем цилиндра равен $$576\pi$$.