10. В правильный треугольник ABC с высотой BD, равной 12, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

В правильном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, которая является точкой пересечения медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота BD является медианой, и центр вписанной окружности (точка O) делит BD в отношении 2:1. Значит, отрезок OD (радиус вписанной окружности) составляет 1/3 высоты BD.

$$r = OD = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} * 12 = 4$$ Ответ: 4